Проблема кузнечика

Меня всегда поражает тонкость вероятности. Вы можете процитировать проблему Монти Холла или проблему Фишера Йейтса, но как насчет проблемы с кузнечиком? Легко сформулировать, но очень сложно решить и немного невероятно.

Новая статья Ольги Гулко из Массачусетского университета и Адриана Кента из Кембриджского университета дает некоторые удивительные результаты по очень простой задаче.

Проблема связана с вопросами квантовой механики, в частности с неравенствами Белла, но несколько упрощенная версия легко формулируется и столь же удивительна:

“Вам дается мешок семян травы, из которого вы можете вырастить газон любой формы (не обязательно соединенный) с единичной площадью на плоской поверхности. Кузнечик приземляется в случайной точке вашего газона, а затем прыгает на заданное расстояние d в случайное направление. Какую форму газона выбрать, чтобы увеличить вероятность того, что кузнечик останется на вашей лужайке после прыжка? ”

Прыжок в случайном направлении – это, конечно, означает, что все направления одинаковы, и поэтому решением должен быть просто диск? Однако первое доказательство в статье опровергает эту интуицию:

Диск площади 1 (радиус π-1/2) не является оптимальным ни для какого d> π-1/2.

Итак, если расстояние прыжка больше, чем радиус диска, это не ответ на вопрос. Причина, по-видимому, в том, что газон не просто подключен. Доказательство основано на демонстрации того, что удаление небольшого диска из центра единичного диска увеличивает вероятность того, что кузнечик приземлится на лужайке. Таким образом, в форме газона есть по крайней мере одно отверстие, которое лучше, чем диск.

Обратите внимание, это доказательство не говорит нам, что это за лучшая форма. Он просто предоставляет область, которую мы можем переместить, чтобы повысить вероятность – он не говорит, где область должна быть развернута.

Позже результат будет обобщен для всех значений d> 0 – так что ваша интуиция полностью ошибочна.

Предполагается, что лучше подойдут “узловатые” формы, но проблему сложно решить точно. Вместо этого исследователи преобразовывают проблему в спиновую модель, дискретное приближение к непрерывной проблеме кузнечика – дискретную задачу о кузнечике?

Спиновые модели часто изучаются в физике с помощью моделирования, и именно это произошло потом. Решение исходной задачи соответствует основному состоянию, то есть состоянию с наименьшей энергией спиновой системы. Это можно найти с помощью моделированного отжига, который моделирует систему при заданной «температуре». Температура контролирует количество случайных движений в системе, и длительное моделирование позволяет ей прийти в равновесие при этой температуре. Медленное понижение температуры позволяет системе с высокой вероятностью перейти в состояние с наименьшей энергией. Это, конечно, имитация того, что происходит, когда вы позволяете чему-то остыть горячему – отсюда и имитация отжига.

Вы можете увидеть симуляцию в действии в следующем видео:

При d <π-1/2 лучшими конфигурациями были односвязные «зубчатые колеса». С уменьшением d количество зубцов уменьшается. Для значений d чуть больше, чем π-1/2, форма меняется от винтика к чему-то несвязному и сложному: Кажется, это критическая область или область с фазовым переходом для проблемы. При значениях 0,65 0,87 форма меняется на веер:

Так все увлекательно и контр-интуитивно понятно, а есть ли приложения?

В статье предлагается довольно много, но мое внимание привлекла следующая:

Наши численные решения наглядно иллюстрируют возникновение структур с дискретной симметрией из изотропной задачи с непрерывной вращательной симметрией. Они также имеют хотя бы мимолетное сходство с узорами, встречающимися в других местах в природе, включая контуры цветов, узоры на некоторых ракушках и полосы на некоторых животных.

Хорошо известная теория морфогенеза Тьюринга предполагает, что многие такие естественные закономерности возникают как решения уравнений реакции-диффузии. Эта возможность была продемонстрирована экспериментально. Наши результаты предполагают, что большое разнообразие формирования паттернов может также способствовать развитию систем с эффективно фиксированными взаимодействиями, включая взаимодействия, связанные с каталитическими реакциями, описанными выше. Возможно, стоит поискать объяснения этого типа в любом контексте, где естественным образом возникают очень регулярные закономерности, которые иначе трудно объяснить.

В конце статьи мы возвращаемся к квантовой механике и неравенствам Белла, но я не могу остановиться, не процитировав восхитительный последний абзац:

Для проективных измерений на парах кубитов такие алгоритмы можно рассматривать как обобщенные модели кузнечиков, в которых у Алисы есть одна лужайка, у Боба есть набор доступных лужаек, а Алиса выбирает, какой из газонов Боба использовать в каждом заданном пробеге.

Бьюсь об заклад, вы не видели, чтобы Боб и Алиса попали в эту историю, не говоря уже об их владении лужайками.

Ах, кузнечик ….

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *