В поисках Рамануджана – интуиция как алгоритм

Это интересная история, если вы увлекаетесь математикой и вычислениями. Машина Рамануджана ищет вдохновляющие формулы для фундаментальных констант. Это потенциально говорит нам кое-что о константах и, возможно, о природе вычислений.

Когда я был студентом-физиком, можно было получить всю мистику о том факте, что постоянная тонкой структуры, безразмерное число, управляющее природой Вселенной, составляет 1/137. Другими словами, величина, обратная постоянной тонкой структуры, равнялась 137, целому числу, которое никакая теория не могла предсказать. Это было похоже на волшебство, и люди пытались найти что-то, что делало бы 137 особенным. К сожалению, постоянная тонкой структуры не совсем 137, но это все равно не мешало людям пытаться найти волшебные комбинации других констант, которые сравняли бы ее с известной точностью. Например

π + π 2 + 4π 3

точность 99,999%. Впечатляет, но подобных формул много, и все они, вероятно, случайны. Пространство поиска велико, а точность не так высока.

Теперь обратимся к математике. Вскоре после того, как я узнал о постоянной тонкой структуры, я познакомился с историей Шринивасы Рамануджана, неподготовленного математика, «открытого» в Индии и доставленного в Кембридж, Англия, знаменитым математиком Г. Харди. Если вы думаете, что математики работают от доказательства к результатам, Рамануджан будет для вас шоком. Он поступал по-другому, получая результат, а затем пытаясь найти доказательство – часто он оставлял доказательство другим.

Шриниваса Рамануджан (1887-1920).

Цитата, приведенная в Википедии, дает вам некоторое представление о том, как он работал, здесь – это отчет о вопросе, заданном Прасантом Чандрой Махаланобисом:

Представьте, что вы находитесь на улице, дома которой отмечены от 1 до n. Между (x) есть дом такой, что сумма номеров домов слева от него равна сумме номеров домов справа. Если n находится в диапазоне от 50 до 500, что такое n и x? ‘ Это двумерная проблема с множеством решений. Рамануджан подумал об этом и дал ответ с изюминкой: он дал непрерывную дробь. Необычным было то, что это было решение целого класса проблем. Махаланобис был поражен и спросил, как ему это удалось. ‘Это просто. В ту минуту, когда я услышал проблему, я понял, что ответ – непрерывная дробь. Какая непрерывная дробь, спрашивал я себя. Тогда ответ пришел мне в голову », – ответил Рамануджан.

Рамануджан был подобен оракулу для проблемы NP. Оракул – это воображаемая сущность, которая может предоставить правильное решение проблемы, не объясняя, как и почему. В большинстве случаев мы затем сосредотачиваемся на том, чтобы доказать, что ответ оракула правильный. В этом случае Рамануджан дал вам решение, и вы могли проверить его обычно довольно быстро, но доказать это или выяснить, как он получил решение, было сложно.

Другими словами, Рамануджан был отчасти машиной для предположений. Он извлекал из воздуха сложные, но часто элегантные формулы, и это давало другим математикам возможность заняться и проникнуть в суть их собственной области.

Теперь исследователи пытаются воспроизвести математический стиль Рамануджана с помощью машины Рамануджана. Это программа, которая ищет предположения о фундаментальных константах в виде цепных дробей. Например уже нашел:

Выражения справа представляют собой непрерывные дроби, и если вы никогда не сталкивались с ними раньше, вы сможете понять их так, как вы бы вычислили их в том виде, в каком они были написаны. Непрерывные дроби интересны, потому что они часто проясняют закономерность, которую в противном случае можно было бы упустить.

Машина Рамануджана ищет выражения непрерывной дроби, которые имеют регулярные коэффициенты, моделируемые полиномами. Если непрерывная дробь:

тогда коэффициенты должны быть определены как:

an = P1 (n) и bn = P2 (n)

где Ps – многочлены. Так, например, если первым многочленом было n2, для непрерывной дроби было бы установлено значение 0, 1, 4, 9 и так далее.

Многочлены дают довольно простые образцы для a и b, но только в том случае, если они сами по себе являются низкими и простыми. Выражение в константах, которые должны были аппроксимировать непрерывные дроби, также было простыми полиномами. Итак, мы ищем непрерывные дроби, равные P3 (c) / P4 (c), где c – постоянная.

Метод поиска довольно гениальный, но, вопреки ожиданиям большинства читателей, ИИ не использовался. Это простой поиск с использованием градиента и эвристики для поиска решений. Вы можете прочитать больше о методах в статье.

Итак, в конце концов, у нас есть некоторые предположения. Неужто большинство будет случайным совпадением цифр? В документе говорится следующее:

«Можно задаться вопросом, действительно ли гипотезы, обнаруженные в этой работе, являются математическими тождествами или просто математическими совпадениями, которые распадаются после того, как вычислено достаточное количество цифр. Однако метод, используемый в этой работе, делает довольно маловероятным, что гипотезы разрушаются. 109 и точность результата более 50 цифр, вероятность нахождения случайного совпадения меньше 10-40. Эта мизерная вероятность заставляет нас верить, что новые гипотезы являются истинами, ожидающими строгого доказательства со стороны математического сообщества. разработка таких доказательств привела к новым открытиям, таким как последствия для теории чисел доказательства последней теоремы Ферма. Мы верим и надеемся, что доказательства этих новых гипотез приведут к новым открытиям в будущем ».

Да, это вероятностный аргумент, и некоторые результаты окажутся случайными, но большинство – нет.

Один из уже доказанных результатов состоит в том, что непрерывные дроби с полиномами, имеющими отношение степеней меньше 2, сходятся с суперэкспоненциальной скоростью, тогда как дроби с отношением больше 2 сходятся с полиномиальной скоростью. Другое наблюдение: кажется, что е имеет больше представлений, чем другие константы – почему?

Еще одна интересная область – это возможность найти представления констант, которые в настоящее время не имеют представления, такие как константа Фейгенбаума из теории хаоса. Такие константы необходимо вычислять численно, и их выражение было бы теоретически важным.

Что-нибудь из этого звучит захватывающе?

Если так:

«Вдохновленные всемирными совместными усилиями в области математики, такими как Великий Интернет-поиск Мерсенна Прайм (GIMPS), мы запускаем инициативу www.RamanujanMachine.com, посвященную поиску новых RF для фундаментальных констант. Сообщество в целом может пожертвовать вычислительное время, чтобы найти RF, предложить математические доказательства для предполагаемых RF или предложить новые алгоритмы их поиска ».

Чего ты ждешь?

PS: Посмотрите на жизнь Шриниваса Рамануджана, это вдохновляющее чтение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *