Не 42, а 33 – Сумма трех кубиков

Теория чисел – это чистейшая математика, хотя часто говорят, что она бесполезна. Конечно, если вы компьютерный ученый, вам виднее. Новость заключается в том, что теперь мы знаем, что 64-летний поиск трех целых чисел, сумма которых в кубе дает 33, решена. Остается 42.

Уравнение Ферма – известная и решенная проблема. Теперь мы знаем, что an + bn = cn не имеет решений для n> 2 со всем положительным целым числом. Это означает, что, например, a3 + b3 = c3 не имеет решений, т.е. нет пар кубиков, которые складываются в другой куб. Физически это означает, что вы не можете взять два твердых целочисленных куба и объединить их, чтобы получить еще один твердый целочисленный куб.

ОК. Итак, игра на два кубика окончена, а как насчет трех?

Проблема суммы трех кубов существует уже давно, и она немного менее строгая, чем проблема Ферма:

Найдите три куба, возможно отрицательные, сумма которых равна заданному целому числу. То есть делает:

х3 + у3 + z3 = п

с целыми числами x, y и z, возможно отрицательными, и n, положительным целым числом, не обязательно кубом.

Решения для этого были предметом компьютерного поиска с 1955 года, и для значений меньше 100 вопрос был открыт только для двух чисел, 33 и 42. Теперь Эндрю Букер уладил случай n = 33:

(8,866,128,975,287,528) ³ + (–8,778,405,442,862,239) ³ + (–2,736,111,468,807,040) ³ = 33

Теперь, возможно, вы понимаете, насколько трудно решить этот вопрос!

Простой подход к проблеме состоит в том, чтобы запустить три вложенных цикла на больших отрицательных и положительных целочисленных диапазонах и вычислить сумму кубов и посмотреть, будет ли результат 33. Это непрактично, поскольку проверяется слишком много значений. Вы можете использовать математику, чтобы сузить поиск. Например, уравнение остается верным, если вы берете его по модулю m. Так:

х3 + у3 + z3 = п

подразумевает

(x3 + y3 + z3) mod 9 = n mod 9

и поскольку единственные значения mod 9 от 0 до 8, мы можем определить возможные кубики mod 9 – 0,1 или 8.

Вы не можете использовать эти значения, чтобы составить 4 или 5 в уравнении. Таким образом, n mod 9 не может быть 4 или 5, и это исключает множество значений n.

В 2016 году все числа меньше 100, которые не были 4 или 5 по модулю 9, имели решения, за исключением 33 и 42. В 1992 году предполагалось, что каждое n, которое не равно 4 или 5 по модулю 9, имеет бесконечно много решения, но это все еще открытый вопрос. Мы знаем, что это верно для 1 и 2, но это все. Очевидно, что найти решение для 33 и 42 необходимо, если гипотеза верна, но его обнаружение не является доказательством, а его отсутствие – лишь свидетельство того, что нам, возможно, придется приложить больше усилий.

Исследование было вдохновлено видео Numberphile, а вот интервью с Эндрю Букером на Numberphile:

Новый алгоритм сократил пространство поиска, но все равно потребовалось примерно 23 основных года на один месяц реального времени. Итак, следующая цель – 42, и Deep Thought потребовалось 7,5 миллионов лет, чтобы обнаружить значение 42 в HHGTTG.

Будем надеяться, что новый алгоритм сможет найти три куба, сумма которых равна 42, за немного меньшее время.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *