Квантовая физика неразрешима

Существует множество предположительно реальных приложений вычислимости, но большинство из них являются теоретическими и не применимы к ситуациям, с которыми мы, вероятно, столкнемся. Теперь у нас есть результат, который доказывает неразрешимость очень простого вопроса квантовой механики.

Проблема неразрешимости в том, что в нее всегда входит бесконечность или две. Например, возьмем проблему с остановкой — вы не можете написать программу, которая будет определять, остановится ли какая-либо другая программа или зациклится навсегда. Доказательство этого показывает, что если бы у вас была такая программа, вы могли бы легко построить парадокс, поэтому такая программа не может существовать.

Результат проблемы с остановкой часто неправильно применяется к реальному миру, чтобы доказать, что что-то не может быть известно или вычислено, и все же тот небольшой вопрос, что рассматриваемые программы должны быть неограниченными, не принимается во внимание, см., Например, проблему остановки, используемую для доказательства A Робот не может убить человека вычислимо.

Если вы можете установить ограничение на размер программ, для которых вы пытаетесь решить вопрос об остановке, тогда вы можете написать программу, которая решает, останавливаются ли они, и не может быть построен парадокс.

Проще говоря, неразрешимость требует где-то бесконечности.

Недавняя статья Тоби С. Кубитта, Дэвида Переса-Гарсиа, Майкла М. Вольфа «Неразрешимость спектральной щели» вызывает некоторое волнение, поскольку доказывает неразрешимость простого квантового вопроса.

Спектральная щель — это разность энергий между основным состоянием и первым возбужденным состоянием. По определению вы можете подумать, что термины «основное состояние» и «возбужденное состояние» подразумевают наличие разницы в энергии, но нет. Вопрос о спектральном зазоре состоит в том, чтобы просто определить, есть зазор или нет. Конечно, в реальных системах могут быть настолько малые зазоры, что они фактически не имеют зазоров, но это математический вопрос, и ответ должен быть точным.

Если вы знакомы с квантовой механикой, вы поймете, что здесь требуется определить нижнюю пару собственных значений гамильтониана системы. Итак, самая абстрактная теория этой теории — это линейная алгебра.

В документе утверждается, что он доказывает:

Хотя в конкретных случаях можно решить проблему спектральной щели, наш результат подразумевает, что в целом логически невозможно сказать, является ли квантовая система многих тел щелью или без щели.

Если быть более точным:

1. Проблема спектральной щели алгоритмически неразрешима: не может существовать какой-либо процедуры, которая с учетом матричных элементов локальных взаимодействий гамильтониана определяет, является ли результирующая модель щелевой или бесщелевой. В этом же смысле неразрешима проблема остановки.

а также

2. Проблема спектральной щели аксиоматически независима: при любой последовательной аксиоматизации математики существуют квантовые многочастичные гамильтонианы, для которых наличие или отсутствие спектральной щели не определяется аксиомами математики. Это форма неразрешимости, встречающаяся в теореме Гёделя о неполноте.

Это довольно шокирующие результаты, которые подразумевают, что математика ограничена в способах описания мира. Это означает, что есть системы, которые вы можете точно указать, но не можете сказать, имеют ли они пробелы или нет, используя математику.

Теорема доказывается с использованием более простой системы, чем полностью общий гамильтониан — набора частиц, образующих сетку LxL, взаимодействующих посредством своего спина. Предполагается, что элементы матриц являются алгебраическими числами, то есть простыми корнями многочленов, чтобы гарантировать, что матрицы не являются невычислимыми вначале.

Все очень разумно, но вы можете спросить, где же бесконечность?

Простой ответ заключается в том, что вопрос задается для системы, в которой L может доходить до бесконечности.

То есть система является разрывной, если множество систем для конечного L стремится к разрывному пределу при L -> ∞.

Фактическое используемое определение более тонкое и точное, чем это, но именно здесь бесконечность проявляется в картине.

Таким образом, мы получаем, что проблема спектральной щели неразрешима для системы с бесконечным числом частиц.

Конечно, любая реальная система имеет много частиц, но не бесконечное число частиц, и поэтому она разрешима.

Это полезный и важный результат?

Вероятно, потому, что рассуждения о бесконечности являются частью математической логики, и этот результат говорит нам, что попытки рассуждать о реальных системах, рассматривая предел на бесконечности, могут оказаться не столь полезными в конце концов.

Авторы статьи указывают на это и подробно обсуждают, какие типы поведения неразрешимость может вызвать в конечных моделях:

По мере увеличения размера системы гамильтониан первоначально будет выглядеть точно как бесщелевая система, при этом низкоэнергетический спектр, кажется, сходится к континууму. Но при некотором пороговом размере решетки внезапно появится постоянная спектральная щель.

а также:

Мало того, что размер решетки, при которой система переключается с безщелевой на щелевую, может быть сколь угодно большим, порог, при котором происходит этот переход, не поддается вычислению.

Это повышает вероятность того, что квантовые системы нашли еще один способ быть странным:

«Это означает, что мы никогда не сможем узнать, действительно ли система является бесщелевой или увеличение размера решетки — даже всего лишь на один узел решетки — покажет, что она пуста».

Для меня это звучит как чувствительность к начальным условиям, она же теория хаоса.

Прочтите статью, хотя бы для того, чтобы узнать, как тайлинг входит в доказательство как связь между физикой и машиной Тьюринга.