Гипотеза Гольдбаха – ближе к разгадке?


Гипотеза Гольдбаха не относится к практическим приложениям, но они говорили то же самое об электричестве.

Гипотеза Гольдбаха достаточно хорошо известна:

каждое четное целое число (> 2) может быть выражено как сумма двух простых чисел.

Очень легко заявить, но, кажется, очень трудно доказать.

Если вы попробуете это с помощью небольшой программы, вы очень скоро убедитесь, что она работает для любого целого числа, которое вы хотите использовать в качестве тестового примера. Однако это не математическое доказательство, и может быть просто целое число, ожидающее своего определения, для которого требуется три или более простых числа в сумме.

Количество представлений простых сумм малых целых чисел (Источник Википедия)

Существует ряд вариаций основной гипотезы Гольдбаха, которые часто изучаются как своего рода разминка для реальных вещей. Например, нечетный вариант постулирует, что каждое нечетное число больше 7 является суммой трех нечетных простых чисел. Это было доказано, но доказательство основывалось на модификации гипотезы Римана, которая является еще одной недоказанной, хорошо известной проблемой.

На сегодняшний день существует небольшое количество доказательств, устанавливающих границы размера числа, которое не подчиняется гипотезе – каждое достаточно большое нечетное целое число является суммой трех простых чисел, а почти все четные целые числа являются суммой двух простых чисел. Вы можете подумать, что «достаточно большой» будет означать, что мы могли бы взять программу и проверить числа до верхней границы, где доказательство вступит в силу.

К сожалению, верхние границы очень “верхние”, например, больше 106846168, что делает вычислительную помощь по-прежнему недоступной.

Теперь у нас есть еще одно доказательство, которое дает другую оценку гипотезе сверху. Теренс Тао, медалист Филдса, опубликовал статью, в которой доказывает, что каждое нечетное число больше 1 является суммой максимум пяти простых чисел. Это может показаться не таким уж большим достижением, но обратите внимание, что нет никаких условий, чтобы целое число было больше некоторой границы. Это полное доказательство немного меньшей гипотезы, которое может указать путь к уменьшению количества необходимых простых чисел с максимум пяти до максимум 2.

Обратите внимание, что в доказательстве не участвовали компьютеры – это классическое математическое доказательство, включающее логические выводы, а не исчерпывающий поиск.

Так есть ли здесь какое-либо приложение к проблемам реального мира?

Я сомневаюсь в этом, но теория чисел настолько важна для кодирования и криптографии, что я, вероятно, ошибаюсь. С другой стороны, это демонстрация того, что математика еще не упала до компьютерных конструктивных доказательств, и, возможно, еще есть аккуратное одностраничное доказательство теоремы о четырех цветах, ожидающее написания.

через: Math Drudge


Добавить комментарий